Mokytojas, poetas, vienas iš lietuvių periodinės spaudos pradininkų. Gimė 1801 m. birželio 10 d. Piktupėnuose (Šilutės r.). Apie 1817-1820 m. mokėsi Karalienės mokytojų seminarijoje. 1820-1851 m. mokytojavo Įsėje, 1851-1867 m. – Kretingalėje. Ten įrengė paruošiamuosius kursus norintiems stoti į mokytojų seminariją. 1832-1867 m. redagavo periodinį leidinį „Nusidavimai apie evangelijos prasiplatinimą tarp žydų ir pagonių“, 1875-1877 m. – laikraštį „Pasiuntinybės laiškelis“, 1851-1871 m. bendradarbiavo „Keleivyje“. Paskelbė religinio turinio straipsnių, giesmių, pasaulietinio pobūdžio rašinių, parašė istorinę poemą „Lietuvininkai“, satyrinį eilėraštį „Vienas Kretingos žmogus“, skelbė žinias iš Mažosios Lietuvos, rūpinosi lietuvybės išsaugojimu, padėjo ruošti lietuvių kalbos žodynus ir kt.Parašė pirmuosius reportažus, iš kurių klaipėdiečiams įdomiausias ir vertingiausias reportažas apie 1854 m. rudens didįjį Klaipėdos gaisrą. F. Kelkis į Klaipėdą atvyko spalio 5 dieną ir, jodamas ant arklio per išdegusį miestą, matė gaisro padarinius. Parjojęs į Kretingą aprašė įspūdžius ir jau 1854 m. spalio 11 d. Karaliaučiaus „Keleivyje“ pateikė juos skaitytojams: „Vakare ketvirtojo oktoberio labai didi vėtra pūtė, ir tai ant septynių radosi Klaipėdos ugnis, ir išgąstingai degė per visą naktį ir per visą dieną, ir mažni dvi dali miesto sudegė, o tai geriausi butai, o tarp tų didžioji bei puikioji vokiečių liuteriškoji, kalviniškoji bažnyčia, ir didžioji lietuvininkų bažnyčia, visos miesto šiulės (mokyklos), didysis sūdo (teismo) butas ir svarbūs raštai tame, daug malūnų, daug špykėrių (sandėlių) su didele daugybe visokio tavoro, javų, linų, kanapių, druskos ir taip toliau, ir kelios šiepys ir rezvaltės (prekybiniai ir keleiviniai laivai). Pagal mano nusprendimą kokie šeši, o rasi gal aštuoni tūkstančiai žmonių be pastogės yra, tarp jų penki kunigai, drauge ir vyskups kaip penktasis, daugybė mokytojų ir taip toliau. Tiktai dalis nuo priemiesčio, kuris Vitte vadinamas, visas priemiestis Smeltė ir dvi dalelės miesto pasiliko…“ („Klaipėda“, 1999, rugsėjo 21).
Mirė 1887 m. vasario 19 d. Kisinuose (Klaipėdos r.).